贝叶斯公式为什么是乘法

93 2025-09-22 22:18

贝叶斯公式为什么是乘法

你问的是：在贝叶斯公式中，为什么“先验概率”与“似然”之间是相乘的关系，而不是相加或其他操作？这个问题本质上是关于概率论中联合概率的定义与分解方式。

贝叶斯公式的核心是一个联合概率的分解：

P(A,B)=P(A∣B)P(B)

这个公式不是推导出来的，而是概率论对“联合事件”的定义方式。
换句话说：

“A 和 B 同时发生”的概率，被定义为“在 B 发生的条件下 A 发生的概率”乘以“B 发生的概率”。

这个定义背后，是概率论对“事件组合”的乘法原理（Multiplication Rule）。
因此，乘法不是贝叶斯公式的特殊选择，而是概率论对“联合事件”的基本定义方式。

我们可以从频率学派的角度，用计数来理解为什么是乘法。

假设有一个样本空间，总共有 N 个等可能的样本点：

那么：

显然：

P(A,B)=NNAB=NBNAB⋅NNB=P(A∣B)P(B)

乘法在这里，本质上是“两步事件”的计数规则：

先选 B 的样本点，再在其中选 A 的样本点，因此两个比例相乘。

在逻辑概率（如 Cox 定理）框架中，概率是对命题可信度的度量。
Cox 定理证明：只要满足几个关于“合理推理”的公理（如一致性、非矛盾性），则“可信度”必须服从概率论的规则，其中：

“命题 A 与命题 B 同时为真”的可信度，等于“在 B 为真的条件下 A 为真的可信度”乘以“B 为真的可信度”。

这里的乘法，不是人为选择，而是逻辑一致性要求的必然结果。
换句话说：

如果你希望“推理系统”不自相矛盾，那么“联合命题”的可信度就必须用乘法来组合。

加法在概率论中，对应的是互斥事件的“或”运算：

P(A 或 B)=P(A)+P(B)−P(A,B)

而联合事件是“同时发生”，不是“要么 A 要么 B”，因此加法不适用。
乘法对应“与”，加法对应“或”，这是概率论的基本语义。

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解释角度	为什么乘法？
定义角度	联合概率的定义就是 (P(A,B)=P(A	B)P(B))，乘法是天生的。
频率角度	两步事件的计数规则，比例相乘。
逻辑角度	Cox 定理证明：逻辑一致性要求“联合命题”的可信度必须相乘。
语义角度	乘法对应“与”，加法对应“或”，联合事件是“与”。

贝叶斯公式中的乘法，不是贝叶斯的特殊选择，而是概率论对“联合事件”的基本定义方式——“同时发生”的概率，必须用乘法来组合。

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