导数3：中值定理、泰勒展开、洛必达法则（罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理时候的那些坑）、等价无穷小

2113 2021-12-20 17:51

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。
柯西中值定理粗略地表明，对于两个端点之间的给定平面弧，至少有一个点，使曲线在该点的切线平行于两端点所在的弦。

21解说：你真的懂了拉格朗日中值定理证明的柯西中值定理吗？那个垂直的辅助线，那个新的函数的意义？为什么可以等于0.这涉及到罗尔定理、费马引理。引理的作用是用极值点来确定水平的切线。最大、最小极值点的合并，证明了罗尔中值定理。罗尔中值定理在直角坐标系的旋转，证明了拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理的参数方程或者说，坐标相关，证明了柯西中值定理。真的能想通了之后。你才会发现。原来大师们是用了这么一个巧妙的线段来完成线性证明的。这是一种巧思。而并不是光明大道一望可知。这种思维上的独木桥，你走过，和你看出来它是怎么搭建的。你的境界是完全不同的。