线性变换中的剪切（shear）是什么意思

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在线性代数中，线性变换是从一个向量空间到另一个向量空间的函数，它保持向量加法和标量乘法的操作。剪切（shear）是线性变换的一种特殊形式，它是一种沿特定方向拉伸空间的变换。

具体来说，剪切变换可以这样理解：

1. **定义**：剪切变换是一种线性变换，它沿着一个方向拉伸空间，同时保持另一个方向的尺寸不变。在二维空间中，剪切变换可以沿x轴或y轴进行，而在三维空间中，可以沿x轴、y轴或z轴进行。

2. **效果**：剪切变换的效果是使空间中的点沿着一个轴向另一个轴方向移动，而保持另一个轴方向的位置不变。例如，在二维空间中，沿x轴的剪切会使得点沿着y轴方向移动，而其x坐标保持不变。

3. **矩阵表示**：在二维空间中，沿x轴的剪切变换可以用以下矩阵表示：
   \[
   \begin{pmatrix}
   1 & k \\
   0 & 1
   \end{pmatrix}
   \]
   其中，\(k\) 是剪切因子，它决定了沿y轴方向的拉伸程度。如果 \(k > 0\)，则点会向上移动；如果 \(k < 0\)，则点会向下移动。

   同样，沿y轴的剪切变换可以用以下矩阵表示：
   \[
   \begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   k & 1
   \end{pmatrix}
   \]
   其中，\(k\) 同样决定了沿x轴方向的拉伸程度。

4. **应用**：剪切变换在计算机图形学、图像处理和工程领域中有广泛的应用，比如在图像的几何校正、3D建模和动画中模拟物体的变形等。

总的来说，剪切变换是一种通过沿一个轴拉伸空间来改变形状的线性变换，它在数学和工程领域中有着重要的应用。

shear的词根、来源

"shear"这个词的词根和来源可以追溯到印欧语系。具体来说：

1. "shear"这个词的英语形式是印欧语系词根\* sker- “cut”的主要后裔，这个词根也产生了英语中的"score"、"share"、"shirt"、"short"和"skirt"，可能还包括"sharp"和"shore"。

2. "shear"的直接来源是史前日耳曼语\* skeran，这个词也演变为德语和荷兰语的"scheren"、瑞典语的"skära"和丹麦语的"skjære"。

3. "shear"这个词来自古英语的"sceran"，意为“剪下，切下”，来自原始日耳曼语族\*sker- “剪切”（源头还包括古诺尔斯语和古弗里西亚语"skera"，荷兰语"scheren"，德语"scheren"），源自PIE（原始印欧语）词根\*sker-（1）“剪切”。

4. 与"shear"相关的词汇还包括"shears"（大剪刀），这个词来自中古英语"sheres"，源自古英语"scearra"（"scear"、"scer"的复数形式）"剪刀"，源自原始日耳曼语\*sker- "剪"。

综上所述，"shear"这个词的词根是原始印欧语的\* sker-，意为“剪切”，这个词根在多个日耳曼语族语言中都有体现，并且与"share"、"sharp"等词同源。

为什么用shear来定义拉伸

"Shear"这个词用来定义拉伸，主要是因为它描述了一种特定的物理动作和效果，这种动作和效果在几何变换中被称为剪切变换。以下是为什么使用"shear"来定义这种拉伸的几个原因：

1. **直观的动作描述**："Shear"这个词在日常生活中指的是用剪刀剪切或撕开的动作。在几何变换中，剪切变换的效果类似于用剪刀沿着一个方向剪切物体，使得物体的一部分沿着另一个方向移动，这与用剪刀剪切的动作非常相似。

2. **形象的视觉效果**：在二维或三维空间中，剪切变换会导致物体的形状发生扭曲，这种扭曲的效果与用剪刀剪切布料或纸张时产生的视觉效果相似。物体的一部分被“拉伸”或“撕扯”到另一个方向，而另一部分保持原位。

3. **数学上的描述**：在数学上，剪切变换可以通过特定的矩阵来表示。这种变换矩阵会导致向量在某个方向上被拉伸，而在另一个方向上保持不变。这种效果与"shear"这个词描述的剪切动作相吻合。

4. **历史和习惯用法**："Shear"这个词在数学和物理学中用来描述这种特定的变换，已经成为一种习惯用法。这种用法可能是由于历史上的某个时刻，人们发现这种变换的效果与"shear"这个词描述的动作非常相似，因此开始使用这个词来描述这种变换。

5. **区分其他类型的变换**：使用"shear"这个词可以帮助区分其他类型的线性变换，如旋转、缩放和平移。每种变换都有其独特的效果和数学表示，使用特定的词汇可以帮助清晰地区分它们。

综上所述，"shear"这个词用来定义拉伸，主要是因为它直观地描述了剪切变换的动作和效果，同时也与数学上的表示和历史习惯用法相吻合。这种用法有助于清晰地描述和理解这种特定的几何变换。