代数基本定理与韦达定理

11 2025-11-28 00:06

代数基本定理和韦达定理不是一回事，它们是两个不同的数学定理，各自有着独特的含义和应用。

代数基本定理指出，任何一个一元复系数多项式（即形如 anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0 的多项式，其中系数 ai 可以是复数）在复数域内至少有一个根。
更具体地说，这个定理可以推广为：一个 n 次多项式在复数域内恰好有 n 个根（包括重根）。

例如，多项式 x2+1 在实数域内没有根，但在复数域内有两个根：x=i 和 x=−i 。

韦达定理（Vieta's formulas）则描述了多项式根与系数之间的关系。
对于一个 n 次多项式：

anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=0

如果它的 n 个根是 x1,x2,…,xn ，那么韦达定理给出了这些根与多项式系数之间的明确关系。例如：

韦达定理在代数、方程求解、多项式理论等领域有着广泛的应用。

因此，代数基本定理并不是韦达定理，它们各自独立但又相互关联，共同构成了多项式理论的重要组成部分。

代数基本定理是谁发现的？

代数基本定理的发现与提出是一个逐步发展的过程，并非由某一个人“瞬间发现”。以下是关键人物和时间节点：

最早明确提出“n次多项式有n个根”思想的是法国数学家 阿尔贝·吉拉尔（Albert Girard），他在1629年的著作中提出了这一观点，尽管当时对复数的理解尚不完整。
首次给出较完整、实质性证明的是德国数学家 卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss），他在1799年的博士论文中首次给出了代数基本定理的严格证明，这也是现代数学中被广泛认可的起点。

因此，高斯通常被认为是代数基本定理的“发现者”或“证明者”，但吉拉尔等早期数学家也对其表述和认识做出了重要贡献。

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